ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

 

1.1. Основные определения

 

Рассматривается  - функция многих переменных, здесь - вектор переменных. Множество допустимых решений, на котором ищется решение задач, обозначается – X.

 

Определение 1.1  Поверхностью уровня функции  называют геометрическое место точек, такое что . В случае 2-х переменных поверхность уровня называют линией уровня.

 

Определение 1.2  Линия уровня функции - спроецированное на плоскость переменных  сечение графика функции плоскостью .

 

 

 

Для построения линии уровня функции  через заданную точку  необходимо вычислить значение функции в точке , затем записать уравнение линии уровня – уравнение плоской кривой в неявном виде  и построить соответствующий график.

 

 

Пример 1.1.  Построить линию уровня функции , проходящую через точку .

 

Решение:

1. Вычислим значение функции в точке .

2. Запишем уравнение линии уровня:  - это уравнение окружности с центром в точке и радиусом .

3. Построим чертеж линии уровня.

 

 

Определение 1.3  Градиентом функции многих переменных  называется вектор, составленный из частных производных первого порядка по всем переменным:

.

 

Градиент - это вектор-столбец размерности , где  - число переменных функции.

 

Свойства градиента:

 

(1) градиент функции перпендикулярен касательной к линии уровня функции ;

(2) направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции.

 

Для построения градиента функции двух переменных в заданной точке  необходимо:

• найти частные производные функции  и записать градиент функции ;
• вычислить значения частных производных функции в точке и составить полученный вектор градиента ;
• построить полученный вектор на координатной плоскости из точки  и затем перенести его в заданную точку , используя параллельный перенос.

 

 

Пример 1.2.  Построить градиент функции  в точке .

 

Решение:

1. Построим линию уровня функции в точке .

Найдем сначала значение функции в заданной точке: . Затем запишем уравнение  линии уровня:  - это уравнение эллипса с центром в точке .

 

Для построения эллипса используем точки:

	0
0
0,5	0,5

 

2. Составим градиент функции.

Для этого найдём частные производные функции 1-го порядка:, следовательно .

 

3. Вычислим значения частных производных функции в точке :

 

Следовательно .

 

4. Построим полученный вектор на координатной плоскости из точки  и затем перенесем его в заданную точку .

 

 

 

Определение 1.4 Матрицей Гессе называется квадратная матрица, составленная из частных производных второго порядка функции  по всем переменным:

 

Матрица Гессе - это квадратная матрица размерности , где  - число переменных функции, симметричная относительно главной диагонали.

 

 

Определение 1.5  Собственные значения (числа) матрицы  - это корни характеристического уравнения вида:

 

Определение 1.6

 

Матрица  называется	положительно определенной	если ее собственные числа	положительны
	отрицательно определенной		отрицательны
	положительно полуопределенной		неотрицательны
	отрицательно полуопределенной		неположительны
	знаконеопределенной		разного знака

 

 

Критерий Сильвестра (критерий знакоопределенности матрицы)

 

Матрица  является положительно определенной, если все ее угловые миноры положительны; отрицательно определенной, если они чередуют знак, начиная со знака минус.

 

Здесь угловые миноры:

 

Пример 1.3.  Найти матрицу Гессе для функции .

Исследовать знакоопределенность матрицы по критерию Сильвестра и на основании информации о собственных значениях.

 

Решение:

 

1. Найдём сначала частные производные функции 1-го порядка:

Теперь найдем частные производные функции 2-го порядка:

            ;

.

Следовательно, матрица Гессе имеет вид: . Она является постоянной.

2. Исследуем знакоопределенность матрицы по критерию Сильвестра:

           

Т.к. все угловые миноры положительны, то матрица положительно определена  в любой точке.

 

3. Исследуем знакоопределенность матрицы на основании информации о собственных значениях.

 

 

Для этого составим характеристическое уравнение:

 

 

 

.

Т.к. все собственные значения положительны, то матрица положительно определена  в любой точке.