1.3. Постановка задачи оптимизации

Постановка задачи оптимизации подразумевает:

1.      Формулировку цели, ради которой ставится задача.

2.      Определение критерия отбора путей достижения цели.

3.      Задание множества путей достижения цели: множества допустимых решений (МДР).

Задача оптимизации формулируется следующим образом: найти среди всех путей, ведущих к цели, наилучший,  для которого критерий принимает оптимальное значение.

Пример 1.4.

  Рассчитать оптимальные размеры цилиндрического контейнера для размещения радиоаппаратуры, при условии, что площадь поверхности контейнера задана.

Цель: Рассчитываемый контейнер должен обладать наибольшим (максимальным) объемом.

Критерий: , где и  - неизвестны и должны быть определены.

МДР: , где  - известная заданная величина.

Как правило, множество допустимых решений содержит огромное (чаще бесконечное) число возможных путей решения задачи (в примере – это различные значения и , удовлетворяющих условию ), поэтому перебор, как способ решения, автоматически исключается, и возникает необходимость в применении специальных математических оптимизационных методов, которые работают с определенными математическими моделями задач.

В курсе будут рассматриваться так называемые задачи математического программирования.

Постановка задачи математического программирования:

1.      Задается целевая функция многих переменных , , определенная на -мерном евклидовом пространстве .

2.      Определяется критерий: найти минимальное значение функции, максимальное значение функции, найти значения переменных, при котором функция примет конкретное значение и т.д.

3.      Задается МДР: X, среди элементов которого осуществляется поиск решения.

Т.о. задача математического программирования формулируется следующим образом: найти такой вектор  из множества допустимых решений X, которому соответствует требуемое с точки зрения цели значение функции на этом множестве.

Определение 1.7.  Точка  X называется точкой локального минимума (локального максимума) функции , если найдется , такое что:

 при      при  .

Определение 1.8.  Точка  X называется точкой глобального минимума (глобального максимума) на X, если:

X      X .

На рисунке точки  и являются точками локальных минимумов; точка  - локальный максимум.

Кроме того, точка является также и глобальным минимумом.

Определение 1.9.  Задача поиска всех минимумов и максимумов целевой функции называется задачей поиска экстремума. Решением задачи поиска экстремума являются пары , включающие точки и значение целевой функции в них.

Множество точек экстремума может содержать конечное число точек (в том числе и одну), бесконечное число точек или быть пустым.

Если множество допустимых решений задается ограничениями (условиями), накладываемыми на вектор , то решается задача поиска условного экстремума. Если, ограничения (условия) на вектор отсутствуют, решается задача поиска безусловного экстремума.

Замечание. Задачи поиска максимума функции  сводится к задачам поиска минимума путем замены знака перед функцией на противоположный:

.