2.1. Необходимые и достаточные условия поиска безусловного экстремума

 

Задачи поиска безусловного экстремума имеют огромное значение в теории оптимизации, т.к. большинство задач на условный экстремум сводятся, путем замены целевой функции, к задачам поиска безусловного экстремума.

 

Рассмотрим сначала случай функции одной переменной: .

Пусть для определенности точка является точкой локального минимума функции . Разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности точки :

 

                            (1)

 

Рассмотрим:

 

                            (2)

 

Для того чтобы точка была точкой локального минимума требуется, чтобы левая часть выражения (2) была бы неотрицательной для любого , такого, что .

 

Рассмотрим правую часть выражения (2). Так как рассматривается достаточно малая -окрестность точки , наибольшим (по модулю) слагаемым в правой части выражения (2) будет 1-е слагаемое, и именно оно будет определять знак левой части выражения (2). Так как в 1-м слагаемом величина  может быть любого знака, то для того, чтобы левая часть выражения (2) была гарантировано неотрицательной, необходимо потребовать, чтобы , тем самым, исключив 1-е слагаемое из правой части выражения (2).

 

Если это условие выполняется, то следующим слагаемым, оказывающим влияние на знак  левой части (2), оказывается 2-е слагаемое. Очевидно, что это слагаемое будет положительным,  если .

 

Аналогично, для случая функции многих переменных, если точка - точка локального минимума , имеет место разложение в ряд Тейлора:

 

 

Так же как и в случае одной переменной:

 

   

и, следовательно, для того чтобы точка  была точкой локального минимума , требуется, чтобы  и .

 

Аналогично, для того чтобы точка  была точкой локального максимума , требуется, чтобы  и .

 

Т.о. можно сформулировать необходимые и достаточные условия безусловного экстремума.

 

Теорема 1. (о необходимых условиях экстремума (НУ))

Если точка является точкой безусловного локального экстремума (минимума или максимума) , и функция непрерывно дифференцируема в ней, то .

 

Замечание. Точки, в которых выполняются необходимые условия безусловного экстремума функции , называются стационарными точками функции, среди них могут быть минимумы, максимумы, а также другие точки, не являющиеся экстремумами функции.

 

Теорема 2. (о необходимых условиях экстремума 2-го порядка (НУ 2-го порядка))

Если точка является точкой безусловного локального  минимума (максимума) , и функция дважды непрерывно дифференцируема в ней, то  ().

 

Теорема 3. (о достаточных условиях безусловного экстремума (ДУ))

Если функция  дважды непрерывно дифференцируема в ,  и , то  – точка локального минимума функции , если же при этом , то – точка локального максимума функции .

 

Алгоритм решения задачи поиска безусловного экстремума

с использованием необходимых и достаточных условий

 

необходимые условия экстремума	1. Записать градиент функции : . 2. Записать необходимые условия безусловного экстремума – составить систему алгебраических уравнений вида:                         . 3. Найти стационарные точки функции ,  решив полученную систему.
достаточные условия экстремума и необходимые условия 2-го порядка	4. Составить матрицу Гессе . 5. Вычислить матрицу Гессе в точках . 6. Проверить знакоопределенность матрицы для каждой точки:  - -локальный минимум функции (ДУ);  - -локальный максимум функции (ДУ);  - требуются дополнительная проверка на локальный минимум функции (НУ 2-го порядка);  - требуются дополнительная проверка на локальный максимум функции (НУ 2-го порядка); - в точке нет экстремума.

 

Исследование знакоопределенности матрицы :

·          - либо по критерию Сильвестра, либо на основании определения (все);

·          - либо по критерию Сильвестра, либо на основании определения (все);

·          - на основании определения (все),  либо из условия, что все главные миноры матрицы неотрицательны;

·          - на основании определения (все),  либо из условия, что все главные миноры матрицы неположительны;

·          - на основании определения ( разных знаков).

 

Пример 2.1.

 

Дано:

 

Решение:

 

1.                            

Градиент функции:

 

2.      

 

3. Решаем систему:                                                        

Таким образом получена стационарная точка функции:  

 

4.                                                            

Матрица Гессе:

 

5.                                        

                    

6.  Исследуем знакоопределенность матрицы по критерию Сильвестра:

 

В точке А :

, 

значит , следовательно, А – локальный минимум

 

Ответ: найдена точка локального минимума функции

Пример 2.2. Найти экстремумы в задаче

 

Дано:

 

Решение:

 

1.                        

Градиент функции:

 

2.      

 

3. Решаем систему:                                            

Таким образом получена стационарная точка функции:  

 

4.                                                            

Матрица Гессе:

 

5.                                        

                    

6.  Исследуем знакоопределенность матрицы по критерию Сильвестра:

 

В точке А:   , 

 значит достаточные условия экстремума в точке не выполняются.

 

Проверим необходимые условия экстремума 2-го порядка, вычислив собственные числа :

 

 

значит матрица , следовательно в  точке А необходима дополнительная проверка на локальный минимум.

 

Дополнительная проверка.

Т.к. значение функции , а в точке А значение функции , то по определению локального минимума, в точке А – локальный минимум.

 

Ответ: найдена точка локального минимума функции