3.2.1. Необходимые и достаточные условия экстремума. Метод множителей Лагранжа

 

Определение 3.1. Ограничение  называют активным в точке , если , т.е. точка принадлежит линии (поверхности), описывающей ограничение.

 

Определение 3.2. Ограничение  называют пассивным в точке , если , т.е. точка не принадлежит линии (поверхности), описывающей ограничение.

 

 

Теорема 1.  (о необходимых условиях экстремума)

 

Пусть есть точка локального условного минимума (максимума) в задаче *, и при этом  являются линейно-независимыми, то найдутся такие , что:

·          (условие стационарности функции Лагранжа по );

·          (условие дополняющей нежесткости);

·          (условие на знак множителей Лагранжа для условного минимума)

или

 (условие на знак множителей Лагранжа для условного максимума);

·          (условие допустимости решения).

Теорема была доказана Куном и Таккером, и в литературе встречается под названием теорема Куна-Таккера.

 

В отличие от случая ограничений типа равенств, необходимые условия экстремума формулируются отдельно для минимума и для максимума.

 

Теорема 2.  (о достаточных условиях экстремума первого порядка)

 

Пусть в точке выполняются необходимые условия экстремума и число активных ограничений в  совпадает с числом переменных. Если для всех активных ограничений в  соответствующие , то - точка условного минимума. Если для всех активных ограничений в  соответствующие , то - точка условного максимума.

 

Теорема 3.  (о достаточных условиях экстремума второго порядка)

 

Если в точке выполняются необходимые условия экстремума и второй дифференциал функции Лагранжа  () при всех ненулевых таких, что:

·         для всех активных в ограничений при

·         для всех активных в ограничений при ,

 то - точка условного локального условного минимума (максимума) функции.

 

 

Алгоритм решения задачи методом множителей Лагранжа

 

 

Пример 3.5.

 

Дано:

Найти решение задачи методом множителей Лагранжа.

 

Здесь ограничения должны  быть переписаны в виде:

                         

Решение:

 

1. Запишем функцию Лагранжа:

 

2. Запишем необходимые условия экстремума.

 

3. Найдем координаты условно-стационарных точек.

 

Случай а) пассивно, значит ; пассивно, значит .

Случай б) активно; пассивно, значит .

Случай в) пассивно, значит ; активно

 

г) активно; активно – из чертежа следует, что система решений не имеет.

 

4. Отбракуем лишние точки:

Координаты	Принадлежность МНР	Знак	Вывод
	МНР, отбраковывается	______	______
	МНР		кандидат на минимум
	МНР		кандидат на максимум

 

Исключаем точку , поскольку она не принадлежит множеству допустимых решений, из оставшихся точек:  - кандидат на минимум,  - кандидат на максимум.

 

5. Проверим  ДУ 1-го порядка:  в точках и они не выполняются, т.к. число активных ограничений в этих точках меньше числа переменных.

 

6. Установим тип полученных точек с помощью ДУ 2-го порядка.

 

Составляем второй дифференциал функции Лагранжа:

 

Составляем дифференциалы ограничений:

             

 

       

 

Точка - кандидат на минимум, активно ограничение ,

Имеем  при условии ,

получим  при , следовательно точка B – условный локальный минимум.

 

Точка - кандидат на максимум, активно ограничение ,

Имеем  при условии ,

получим  при , но точка кандидат на максимум – в C экстремума нет.

 

Ответ: получена точка - условный локальный минимум.

 

Пример 3.6.

 

Дано:

Найти решение задачи методом множителей Лагранжа.

 

Здесь ограничения должны  быть переписаны в виде:

                         

Решение:

1. Запишем функцию Лагранжа:

 

2. Запишем необходимые условия экстремума.

 

3. Найдем координаты условно-стационарных точек.

 

Случай а) пассивно, значит ; пассивно, значит . (Точка не на прямой и не на окружности)

 

Случай б) активно; пассивно, значит . (Точка на окружности, но не н а прямой)

Случай в) пассивно, значит ; активно. (Точка на прямой, но не на окружности)

 

г) активно; активно. (Точка на пересечении прямой и окружности)

  

 

4. Отбракуем лишние точки:

Координаты	Принадлежность МНР	Знак	Вывод
	МНР		кандидат на минимум или на максимум
	МНР, отбраковывается	______	______
	МНР		кандидат на максимум
	МНР		кандидат на максимум
	МНР		кандидат на максимум
	МНР		кандидат на максимум

 

Из оставшихся точек:  - кандидат на минимум или на максимум,  - кандидаты на максимум.

 

5. Проверим  ДУ 1-го порядка:  в точках , и они не выполняются, т.к. число активных ограничений в этих точках меньше числа переменных.

В точке  ограничения , т.е. число активных ограничений равно числу переменных и при этом  и , значит ДУ 1-го порядка выполняются  - точка  условный локальный максимум.

В точке ограничения , т.е. число активных ограничений равно числу переменных и при этом  и , значит ДУ 1-го порядка выполняются  - точка  условный локальный максимум.

 

6. Установим тип оставшихся  точек , и с помощью ДУ 2-го порядка.

 

Составляем второй дифференциал функции Лагранжа:

 

Составляем дифференциалы ограничений:

                   

                         

 

Точка - кандидат на минимум или максимум, активных ограничений нет.

Тогда  при , следовательно, точка но точка - условный минимум.

 

Точка - кандидат на максимум, активно ограничение , .

Тогда  при условии ,

получим  при , но точка кандидат на максимум – достаточные условия экстремума не выполняются, следовательно в  экстремума нет.

 

Точка - кандидат на максимум, активно ограничение , .

Тогда  при условии ,

получим  при , но точка кандидат на максимум – достаточные условия экстремума не выполняются, следовательно в  экстремума нет.

 

Ответ: получена точка - условный локальный минимум, и  - условные локальные максимумы.