ГЛАВА 7. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ

7.1. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

СЛАУ имеет вид:

                                               (1)

или

,                                                                                                         (2)

где

 - действительная матрица размерности (),

 - вектор-столбец неизвестных размерности (),

 - вектор-столбец  правых частей СЛАУ размерности ().

Требуется найти решение  , подстановка которого в СЛАУ обратит каждое уравнение которой в тождество :

Аналитические (метод Крамера) и прямые методы (метод Гаусса и его модификации  и др.) становятся трудно реализуемыми в случаях, когда СЛАУ имеет большую размерность (). Альтернативой этим методам являются численные методы, основанные на многократном уточнении - приближенно заданного решения задачи (2).

Определение 7.1.  Нормой матрицы называется действительное число, обладающее свойствами:

1)

    - нулевая матрица

2)

3)

4)

Рассмотрим различные способы вычисления нормы матрицы:

                                                                (A)

                                                                (B)

                                                                 (C)

Рассмотрим также различные способы вычисления нормы вектора, согласованные с соответствующей нормой матрицы:

                                                                     (a)

                                                                        (b)

                                                                     (c)