7.2. Методы решения нелинейных уравнений

Постановка задачи

Дано: нелинейное уравнение ,     *

где – функция определенная и непрерывная на некотором промежутке.

Требуется найти корни уравнения, т.е. числа , которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество.

Определение 7.1. Число  - есть корень уравнения кратности , если при вместе с функцией  обращаются в нуль ее производные до порядка включительно, т.е.:

Корень кратности  называют простым.

Так, на чертеже корни  и  - простые, а корень - кратный.

На практике иногда бывает выгодно уравнение * заменить равносильным:

,          **

            где функции  - более простые, чем

Тогда – если корни уравнения * - это точки пересечения графика с осью , то корни уравнения ** – абсциссы точек пересечения графиков функций .

В более общем случае,  решения уравнения * могут быть найдены численно с заданной точностью.

Численное решение осуществляется в два этапа:

Первый этап. Находятся отрезки , внутри каждого из которых содержится один простой или кратный корень. Этот этап называется отделение корней. По сути, он дает грубое приближение искомого корня.

Второй этап. Грубое приближение каждого корня уточняется до заданной точности одним из численных методов. Этот этап называется уточнение корней.