7.2.3. Уточнение корней. Метод Ньютона (метод касательных)

Задается начальное приближение . Далее проводится касательная к кривой в точке . В качестве следующего приближения выбирается точка пересечения этой касательной с осью абсцисс.

Процесс построения касательных и нахождения точек пересечения с осью продолжается до тех пор, пока разность между двумя последовательными приближениями не станет меньше заданной величины .

Описанная процедура уточнения корня задается следующим соотношением:

Метод быстро сходится (имеет квадратичную сходимость), однако метод является эффективным при весьма жестких ограничениях на характер функции .

Теорема (о достаточных условиях сходимости метода Ньютона)

Пусть выполняются следующие условия:

·         функция определена и дважды дифференцируема на ;

·         отрезку принадлежит только один простой корень , так что ;

·         производные сохраняют знак на ;

·         начальное приближение удовлетворяет неравенству .

Тогда с помощью метода Ньютона можно вычислить корень уравнения * с любой точностью.

Алгоритм метода Ньютона

Пример 7.5. Уточнить корень уравнения:  на отрезке  методом Ньютона. Точность счета

Решение:

1. Выберем в качестве начального приближения .

Проверим условия сходимости метода Ньютона: , значит , и условие сходимости выполнено.

2. Вычислим первое приближение корня:

Вычислим второе приближение корня:

Получено решение