7.3. Интерполяция сеточных функций

Дана сеточная функция, заданная таблицей:

Будем считать данную функцию  и некоторую функцию  близкими, если они совпадают на заданной системе точек . Эти точки называют узлами интерполяции.

Постановка задачи интерполирования

На отрезке   заданы  точка  и значение некоторой функции  в этих точках: . Требуется построить функцию , принадлежащую определенному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и , т.е.  .

Геометрически это означает, что требуется найти кривую  некоторого определенного типа, проходящую через систему точек .

В такой постановке задача имеет бесконечное множество решений. Но задача становится однозначной, если вместо любой функции  искать многочлен  по целым неотрицательным степеням x, степени n, поскольку, известно, что существует  единственный многочлен степени не выше , принимающий в n+1 точках  заданные значения.

Итак: требуется найти многочлен , график которого проходит через все заданные точки, т.е. удовлетворяющий условию интерполяции:

Точки  называются  узлами интерполяции, а многочлен -  интерполяционным.