ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Рассматриваются следующие обозначения:

- независимая переменная

- неизвестная функция переменной

- производные неизвестной функции 1-го, 2-го, 3-го, 4-го и т.д. n-го порядков

- дифференциалы неизвестной функции 1-го, 2-го, 3-го и т. д. порядков

Определение 1.1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

Определение 1.2. Порядок ДУ – это порядок (номер) старшей производной или дифференциала неизвестной функции , входящей в уравнение.

Общий вид ДУ n-го порядка:

Определение 1.3. ДУ называется разрешенным относительно производной, если из ДУ может быть выражена в явном виде старшая производная.

Общий вид ДУ n-го порядка, разрешенного относительно производной:

Определение 1.4. Процесс нахождения решения ДУ называется интегрированием ДУ.

Определение 1.5. Решением ДУ называется функция, определенная в некоторой области и достаточное число раз дифференцируемая, которая при подстановке в ДУ обращает его в тождество.

Решение ДУ, имеющее неявный вид , называют интегралом дифференциального уравнения.

График решения ДУ называется интегральной кривой.

Пример 1.1.

Доказать, что функция является решением ДУ 2-го порядка .

Решение

Найдём 1-ю и 2-ю производные функции :

Подставим функции в ДУ:

Получили:.

Поскольку процесс нахождения решения ДУ связан с многократным (n кратным) интегрированием, получаемое в результате решение содержит n произвольных постоянных (констант), свободных для выбора. Таким образом, любое ДУ имеет бесконечное множество решений, подчиняющихся определенным закономерностям.

Определение 1.6. Общим решением ДУ называется множество, содержащее все решения ДУ.

Общее решение ДУ n-го порядка, имеющее неявный вид , называют общим интегралом дифференциального уравнения:

График общего решения ДУ называется семейством интегральных кривых.

Определение 1.7. Частным решением ДУ называется любое решение, получаемое из общего при конкретных значениях произвольных постоянных . Значения произвольных постоянных, как правило, определяются из некоторых заданных условий.

Пример 1.2.

Дано ДУ 2-го порядка:

Общее решение данного ДУ:

Найти частное решение ДУ при условиях: и

Решение

Найдём производную функции :

Воспользуемся заданными условиями:

т.к. , то

Тогда, частное решение данного ДУ, полученное при заданных условиях, имеет вид: .

Определение 1.8 Особым решением ДУ называется такое его решение, в каждой точке которого с той же касательной проходит другое, не совпадающее с ним решение.