ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА

Общий вид ДУ 1-го порядка:

                                                                       (форма 1)

или

                                                                           (форма 2)

Часто ДУ 1-го порядка заданы в форме явно содержащей дифференциал неизвестной функции :

                                                  (форма 3)

Очевидно, что  от формы 2 записи ДУ легко перейти к форме 3  и наоборот, покажем это:

или

Общее решение ДУ 1-го порядка содержит одну произвольную постоянную и имеет вид:   или .

2.1. Условия существование и единственность решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Задача Коши

При решении практических задач, как правило, необходимо найти не общее, а частные решения ДУ, соответствующие определенным априори известным условиям.  Обычно это так называемые начальные условия, которые накладываются на искомую функцию  в заданной точке .

Определение 2.1. Задачей Коши для ДУ 1-го называется задача об отыскании частного решения ДУ, удовлетворяющего начальному условию , где - заданы.

Поскольку задача Коши носит исключительно прикладной характер, возникает вопросы: существует ли решение ДУ, удовлетворяющее заданному начальному условию и будет ли оно единственным.

Теорема Коши. (Теорема существования и единственности решения ДУ)

Дано: ,

Если функция  непрерывна в некоторой области , содержащей точку  , и удовлетворяет в  условию Липшица, то в достаточно малом интервале существует единственное решение уравнения , удовлетворяющее условию .

Существование решения при этом утверждается на достаточно малом интервале, а единственность в пределах рассматриваемой области.

Замечание. Условие Липшица может быть заменено несколько более грубым условием существования ограниченной по модулю, непрерывной производной  в области .

Утверждение.

1)       Если функция  непрерывна, то в интервале  существует решение ДУ.

2)       Если кроме этого, существует ограниченная непрерывная частная производная  в рассматриваемой области, то это решение является единственным.

Пример 2.1.

Проанализировать поставленные задачи Коши:

1)      

2)      

Решение

1) Рассмотрим  задачу .

Рассмотрим правую часть уравнения: - это функция двух переменных. Исследуем поведение этой функции в окрестности начальной точки, точки задаваемой начальными условиями: . Очевидно, что в самой точке функция имеет разрыв, а, следовательно, не является непрерывной.

Вывод: задача Коши не имеет решений.

Для сравнения, общее решение данного ДУ: , очевидно, что при подстановке начальных условий в общее решение получим:

2) Рассмотрим задачу .

Рассмотрим правую часть уравнения: - это функция двух переменных. Исследуем поведение этой функции в окрестности начальной точки, точки задаваемой начальными условиями: . Очевидно, что функция не имеет разрывов, а, следовательно, является непрерывной.

Вывод: задача Коши имеет решение.

Рассмотрим частную производную функции  - это также функция двух переменных. Исследуем поведение этой функции в окрестности начальной точки . Очевидно, что в самой точке функция имеет разрыв, а, следовательно, не является непрерывной.

Вывод: задача Коши имеет более одного решения.

Для сравнения, общее решение данного ДУ: , очевидно, что при подстановке начальных условий в общее решение получим два решения задачи Коши:

Геометрический смысл ДУ 1-го порядка

Пусть в некоторой области  ДУ 1-го порядка  имеет решение . Тогда, исходя из геометрического смысла производной, получим, что в любой точке  плоскости  касательная к интегральной кривой имеет угловой коэффициент (тангенс угла наклона) равный .

Направления касательных к интегральным кривым образуют поле направлений. Построить поле направлений, значит вычислить тангенс угла наклона касательных к интегральным кривым в каждой точке плоскости, где определена .

Определение 2.2. Геометрическое место точек плоскости , в которых поле направлений постоянно называется изоклиной.