Дифференциальные уравнения

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- Вопросы самоконтроля усвоения теории
  (незачтено)
ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА
- 2.1. Условия существование и единственность решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Задача Коши
  - Вопросы самоконтроля усвоения теории
    (незачтено)
- 2.2. Метод изоклин
- 2.3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, разрешенные относительно производной
- 2.4. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, неразрешенные относительно производной
  - 2.4.1. Метод введения параметра
  - 2.4.2. Особые решения дифференциального уравнения
- 2.5. Порядок определения типа ДУ 1-го порядка
- КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
  (незачтено)
ГЛАВА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
- 3.1. Условия существования и единственности решения дифференциальных уравнений высших порядков
  - Вопросы самоконтроля усвоения теории
    (незачтено)
- 3.2. Случаи интегрирования ДУ высших порядков
  - Случай 1
  - Случай 2
  - Случай 3
  - Случай 4
  - Случай 5
  - Вопросы самоконтроля усвоения теории
    (незачтено)
- 3.3. Решение задачи Коши для ДУ высших порядков
  - Вопросы самоконтроля усвоения теории
    (незачтено)
ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
- 4.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ)
  - Вопросы самоконтроля усвоения теории
    (незачтено)
- 4.2. Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами
  - Вопросы самоконтроля усвоения теории
    (незачтено)
  - Решение упражнений в пошаговом режиме
    (незачтено)
  - РУБЕЖНЫЙ КОНТРОЛЬ №3
    (незачтено)
- 4.3. Линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами (ЛНДУ)
- КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2
  (незачтено)
ГЛАВА 5. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ)
- Вопросы самоконтроля усвоения теории
  (незачтено)
- 5.1. Системы линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами
  - 5.1.1. Метод исключения
  - 5.1.2. Метод Эйлера решения СЛОДУ
  - Вопросы самоконтроля усвоения теории
    (незачтено)
  - Решение упражнений в пошаговом режиме
    (незачтено)
  - РУБЕЖНЫЙ КОНТРОЛЬ №5
    (незачтено)
- 5.2. Системы линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами (СЛНДУ)
ГЛАВА 6. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДУ
- 6.1. Простейшие типы точек покоя
- 6.2. Признаки отрицательности действительных частей всех корней характеристического уравнения.
- КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3
  (незачтено)
ГЛАВА 7. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДУ
- 7.1. Приближенно-аналитические методы решения задачи Коши
  - 7.1.1. Методы степенных рядов
    - 7.1.1.1. Метод последовательного дифференцирования
    - 7.1.1.2. Метод неопределенных коэффициентов
  - 7.1.2. Метод последовательных приближений
  - 7.2. Численные методы решения задачи Коши
  - 7.3. Приближенно-аналитические методы решения краевых задач
    - 7.3.1. Метод коллокаций
  - 7.4. Численные методы решения краевых задач
    - 7.4.1. Метод конечных разностей
    - Вопросы самоконтроля усвоения теории
      (незачтено)
ЭКЗАМЕН
(не сдан)

2.3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, разрешенные относительно производной

2.3.1 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение 2.3. Дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, если его можно привести к виду:

или

Правая часть уравнения * представлена в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от , а другая только от .

Алгоритм решения ДУ с разделяющимися переменными

1. Привести уравнение к виду *, указать тип уравнения.

2. Представить в виде .

3. Умножить или разделить обе части уравнения на такие выражения, чтобы слева оказались только функции и дифференциал , а справа – функции только и дифференциал . При разделении переменных числовые множители лучше оставлять справа.

4. Проинтегрировать левую часть уравнения по , а правую – по . Константу интегрирования записать только справа. Результат интегрирования – решение ДУ.

5. Проверить возможно потерянные решения. (см. Замечание)

6. Записать в ответ общее решение ДУ.

Замечание. В процессе решения ДУ могли быть потеряны решения. Такими потерянными решениями могут быть функции, обращающие в ноль выражения, оказавшиеся в знаменателях левой и правой частей уравнения или сокращенные при разделении переменных.

Пример 2.3.

Дано:

Решение:

1. Выразим из ДУ старшую производную, для этого разделим обе части уравнения на :

В правой части ДУ можно выделить два множителя, один представляет функцию аргумента , другой аргумента :

- это ДУ с разделяющимися переменными в виде *

2. Сделаем замену:

3. Разделим переменные:

4. Проинтегрируем левую часть уравнения по , правую по :

- решение ДУ

Преобразуем полученное решение:

- решение ДУ

5. Проанализируем возможно потерянные решения. Для этого выпишем все выражения, на которые осуществлялось деление в процессе решения, приравняем их нулю и проверим соответствующие функции подстановкой в исходное ДУ:

а) .