2.3.3. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Определение 2.4. Функция называется однородной функцией своих аргументов степени , если  для любого числа верно:

Пример:

Дана функция . Доказать ее однородность.

- однородная функция степени 2.

Определение 2.5.  ДУ вида , называется однородным ДУ 1-го порядка, если функции и являются однородными функциями своих аргументов одной и той же степени.

Однородное ДУ 1-го порядка может быть также определено как ДУ вида: , где – однородная функция своих аргументов 0-й степени.

Однородное ДУ 1-го порядка может быть представлено в виде:    *

Пример.

Здесь - однородная функция своих аргументов 0-й степени:

Вернёмся к исходному ДУ и разделим числитель и знаменатель в правой части на :

Однородное ДУ 1-го порядка с помощью замены может быть приведено к ДУ с разделяющимися переменными. Покажем это.

 - ДУ с разделяющимися переменными

Алгоритм решения однородного ДУ 1-го порядка

Пример 2.4.

Дано:

Решение:

1. Выразим из ДУ старшую производную:

Правая часть полученного уравнения представляет собой функцию аргумента :

 - это однородное ДУ 1-го порядка

2. Сделаем замену:

3. Получим:                                  

                               - ДУ с разделяющимися переменными

4. Решаем ДУ с разделяющимися переменными:

 - решение ДУ с разделяющимися переменными

5. Сделаем обратную подстановку:

                         - решение однородного ДУ

6. Потерянных решений нет.

7. Ответ: