2.3.5.2. Метод подстановки (метод Бернулли)










2.3.5.2. Метод подстановки (метод Бернулли)



Дано:




Заменим искомую
функцию  произведением
двух новых функций: ,
тогда:















Выберем функцию  таким образом, чтобы
выражение в скобках  обратилось
в 0, для этого решим ДУ с разделяющимися переменными:






Подставим
найденную функцию в уравнение и найдём функцию :












Окончательно: 



 



Алгоритм решения линейного
неоднородного ДУ методом подстановки






1. Привести уравнение к виду *, указать тип уравнения.



2. Представить , тогда . Подставить полученные выражения в
уравнение *:









3. Найти функцию , обращающую в ноль выражение, стоящее в
скобках:  -
это ДУ с разделяющимися переменными. Получится . Константу интегрирования  при этом не пишут.



4. Подставить полученную функцию  в уравнение из п .2, получится: 



 или 



5. Найти : .



6. Подставить найденные выражения для  и  в . Это – решение исходного линейного
уравнения.



7. Проверить возможно потерянные решения.



8. Записать в ответ общее решение ДУ.






 



Пример 2.6.



Дано:




Решение:



1. Выразим старшую производную: 



Правая часть ДУ имеет вид: , где , , 



значит данное ДУ является линейным
неоднородным 1-го порядка.



2. Представим , тогда:









3. Найдем функцию  из ДУ :



                                                          



                                  



4. Подставим найденную функцию  в ДУ из п. 2.:









5. Найдем функцию : 



6. Подставим найденные  функции   и , получим  - решение линейного ДУ.



7. Потерянных решений нет.



8.
Ответ: