2










2.3.6. Дифференциальные
уравнения, приводящиеся к линейным. Дифференциальное уравнение Бернулли.



 



Определение 2.8. Дифференциальное
уравнение называется уравнением Бернулли, если оно может быть записано в виде:



 * ДУ Бернулли по 



или



       ДУ
Бернулли по 



ДУ Бернулли
приводится к линейному неоднородному заменой: . Покажем это.



, тогда










       - линейное
неоднородное ДУ



 



Алгоритм решения ДУ Бернулли






1. Привести уравнение к виду *, указать тип уравнения 



2. Разделить обе части уравнения на .



3. Сделать замену:



,
тогда 



4. Подставить полученные выражения в уравнение из п. 2. Получится
линейное неоднородное ДУ.



5. Решить линейное ДУ любым методом. Найти его решение 



6. Сделать обратную замену: 



7. Проверить возможно потерянные решения.



8. Записать в ответ общее решение ДУ.






Пример 2.7.



Дано:




Решение:



1. Выразим старшую производную: 



Правая часть ДУ имеет вид: , где , ,  , значит данное ДУ является ДУ Бернулли.



 



2. Разделим обе части ДУ на : 



3. Сделаем замену:                      



 



4. Подставим полученные выражения в
ДУ из п.2:



 






 - это ЛДУ 1-го порядка



 



5. Решаем ЛДУ
методом вариации произвольной постоянной:







































 - решение ЛДУ



6. Делаем
обратную замену:  -
решение ДУ Бернулли



 



7.  - потерянное решение
ДУ.



 



8. Ответ: