Дифференциальные уравнения

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- Вопросы самоконтроля усвоения теории
  (незачтено)
ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА
- 2.1. Условия существование и единственность решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Задача Коши
  - Вопросы самоконтроля усвоения теории
    (незачтено)
- 2.2. Метод изоклин
- 2.3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, разрешенные относительно производной
- 2.4. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, неразрешенные относительно производной
  - 2.4.1. Метод введения параметра
  - 2.4.2. Особые решения дифференциального уравнения
- 2.5. Порядок определения типа ДУ 1-го порядка
- КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
  (незачтено)
ГЛАВА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
- 3.1. Условия существования и единственности решения дифференциальных уравнений высших порядков
  - Вопросы самоконтроля усвоения теории
    (незачтено)
- 3.2. Случаи интегрирования ДУ высших порядков
  - Случай 1
  - Случай 2
  - Случай 3
  - Случай 4
  - Случай 5
  - Вопросы самоконтроля усвоения теории
    (незачтено)
- 3.3. Решение задачи Коши для ДУ высших порядков
  - Вопросы самоконтроля усвоения теории
    (незачтено)
ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
- 4.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ)
  - Вопросы самоконтроля усвоения теории
    (незачтено)
- 4.2. Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами
  - Вопросы самоконтроля усвоения теории
    (незачтено)
  - Решение упражнений в пошаговом режиме
    (незачтено)
  - РУБЕЖНЫЙ КОНТРОЛЬ №3
    (незачтено)
- 4.3. Линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами (ЛНДУ)
- КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2
  (незачтено)
ГЛАВА 5. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ)
- Вопросы самоконтроля усвоения теории
  (незачтено)
- 5.1. Системы линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами
  - 5.1.1. Метод исключения
  - 5.1.2. Метод Эйлера решения СЛОДУ
  - Вопросы самоконтроля усвоения теории
    (незачтено)
  - Решение упражнений в пошаговом режиме
    (незачтено)
  - РУБЕЖНЫЙ КОНТРОЛЬ №5
    (незачтено)
- 5.2. Системы линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами (СЛНДУ)
ГЛАВА 6. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДУ
- 6.1. Простейшие типы точек покоя
- 6.2. Признаки отрицательности действительных частей всех корней характеристического уравнения.
- КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3
  (незачтено)
ГЛАВА 7. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДУ
- 7.1. Приближенно-аналитические методы решения задачи Коши
  - 7.1.1. Методы степенных рядов
    - 7.1.1.1. Метод последовательного дифференцирования
    - 7.1.1.2. Метод неопределенных коэффициентов
  - 7.1.2. Метод последовательных приближений
  - 7.2. Численные методы решения задачи Коши
  - 7.3. Приближенно-аналитические методы решения краевых задач
    - 7.3.1. Метод коллокаций
  - 7.4. Численные методы решения краевых задач
    - 7.4.1. Метод конечных разностей
    - Вопросы самоконтроля усвоения теории
      (незачтено)
ЭКЗАМЕН
(не сдан)

2.3.7. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Определение 2.9. ДУ вида , называется ДУ в полных дифференциалах, если его левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции .

Это условие будет выполняться, если верно: .

Замечание. Если ДУ вида является ДУ в полных дифференциалах, то его решением является неявная функция для которой верно: и .

Алгоритм решения ДУ в полных дифференциалах

1. Привести уравнение к виду и проверить условие , если условие выполняется указать тип ДУ.

2. Записать вид искомого решения: и соответствующие условия:

а)

б) .

3. Выбрать для поиска решения любое из условий а) или б). Найти из выбранного условия функцию , проинтегрировав левую и правую части условия по или соответственно:

а)

б)

4. Продифференцировать полученное выражение в случае а) по , а в случае б) по . Приравнять в случае а) полученную производную к и выразить из равенства , а в случае б) приравнять производную к и выразить из равенства .

5. Найти:

а)

б)

6. Записать функцию .

7. Записать в ответ общее решение ДУ.

Пример 2.8.

Дано:

Решение:

1. Запишем ДУ в виде :

Найдем: и .

Получили , значит ДУ в полных дифференциалах.

2. Будем искать решение в виде , где и .

3. Найдем из условия :

4. Продифференцируем полученное выражение по : и приравняем , получим:

5. Найдем (Константу интегрирования не пишем!)

6. Запишем искомую функцию:

7. Ответ: - решение ДУ в полных дифференциалах.

Определение 2.10. Интегрирующим множителем для уравнения называется такая функция , после умножения на которую уравнение превращается в уравнение в полных дифференциалах.

Если функции и в уравнении имеют непрерывные частные производные и не обращаются в нуль одновременно, то интегрирующий множитель существует. Однако нет общего метода для его отыскания.

Частные случаи отыскания интегрирующего множителя:

1) Если является функцией аргумента , то .

2) Если является функцией аргумента , то .

В общем случае интегрирующий множитель ищется из условия: