4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

 

Определение 4.1. ДУ вида:

называется линейным ДУ.

Здесь функции непрерывны и дифференцируемы на некотором промежутке .

 

Определение 4.2. Если функция , то ДУ называется линейным неоднородным, если же , то ДУ линейное однородное.

 

Иногда ЛДУ записывают с использованием линейного дифференциального оператора .

 

Определение 4.3.  Говорят, что на множестве определен оператор , если каждой функции по некоторому закону соответствует одна и только одна функция .

 

В данном случае линейный дифференциальный оператор каждой -раз дифференцируемой на некотором промежутке  функции  ставит в соответствие функцию  со значениями на , такую, что:

.

Само линейное дифференциальное уравнение при этом записывается в виде: .

 

4.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ)

 

ЛОДУ имеет вид:

или

Теорема 1.  Если функция является решением ЛОДУ, то функция  также является решением этого уравнения.

 

Теорема 2.  Если функции  и  являются решениями ЛОДУ, то функция  также является решением этого уравнения.

 

Теорема 3.  Если функции  являются решениями ЛОДУ, то их линейная комбинация   также является решением этого уравнения.

 

Выясним теперь вопрос как найти общее решение ЛОДУ.

 

Определение 4.4. Функции называются линейно независимыми на , если тождество:  выполняется только в случае, когда все .

 

Пример

Функции  и  является линейно зависимыми, т.к. равенство  выполняется, например, при .

Функции  и  является линейно независимыми, т.к. равенство  может быть выполнено только при .

 

Определение 4.5.

Если функции дифференцируемы  раз, то из них можно построить определитель -го порядка:

Этот определитель называется определителем Вронского данной системы функций.

Определитель Вронского является средством для определения линейной зависимости или независимости функций.

Утверждение. Если система функций  является линейно зависимой, то определитель Вронского такой системы тождественно равен 0.

 

Пример

Составим определитель Вронского для системы функций:  и :

 

Вывод: функции являются линейно зависимыми.

Составим теперь определитель Вронского для системы функций:  и :

Вывод: функции являются линейно независимыми.

 

Теорема.

Если функции  являются решениями ЛОДУ и являются линейно независимыми, то определитель Вронского этой системы не обращается в 0 ни в одной точке рассматриваемого промежутка .

 

Определение 4.6. Совокупность  линейно независимых на промежутке  решений однородного уравнения называется фундаментальной системой решений (ФСР) этого уравнения.

 

Теорема  о структуре общего решения линейного однородного уравнения

Если -  линейно независимых на промежутке  частных решения однородного уравнения (ФСР), то общее решение однородного уравнения представляется в виде:

,

где– произвольные постоянные.

 

Таким образом, задача интегрирования ЛОДУ сводится к задаче отыскания фундаментальной системы частных решений.