4










4.2. Линейные однородные ДУ с
постоянными коэффициентами



 



Определение
4.7. Линейным однородным ДУ с постоянными коэффициентами называется
ДУ вида: 






где – действительные числа



 



Алгоритм решения ЛОДУ с постоянными коэффициентами






 



1. Составить характеристическое (ХУ) уравнение (алгебраическое):






2. Найти все корней характеристического уравнения: .



3. Найти ФСР для данного ДУ и записать решение в виде:



 , 



где каждая
функция соответствует
корню .



 






 



Правило построения ФСР






а)  –
простой действительный корень ХУ.



Замечание. Корень
будет простым, если среди корней встречается единственный раз.



 



Тогда в решение запишем 1 слагаемое вида: 



 






 






б)  –
кратный действительный корень (кратности k).



Замечание. Корень
– кратный, если среди множества корней встречается более 1 раза (k раз).



 



Тогда в решение запишем k слагаемых вида: 



 






 






в)  –
пара простых комплексно-сопряженных корней, 



здесь –
действительная часть, - мнимая часть.



Замечание. Комплексно-сопряженные корни будут простыми,
если корень вида встречается
1 раз и корень вида  тоже
1 раз.



 



Тогда в решение запишем 2 слагаемых: 



 






 






г)  –
пара кратных комплексно-сопряженных корней (кратности k)



Замечание. Комплексно-сопряженные
корни будут кратными, если корень вида встречается k раз и корень вида  тоже k раз.



 



Тогда в решение запишем 2k слагаемых: 






 






 



Пример 4.1.



Дано:




Решение:



 



1.
 Составим характеристическое уравнение:  



Это квадратное уравнение, вида , где ,  и .



2. Решим
характеристическое уравнение:






                    



3. Запишем
решение ЛОДУ:



 -
простой действительный корень



 -
простой действительный корень








Получим: 



Овальная выноска: Для корня  ,Овальная выноска: Для корня 
 
 



 



 






Ответ: 



 



Пример 4.2.



Дано:




Решение:



1.
 Составим характеристическое уравнение:  



2. Решим
характеристическое уравнение:






                            



3. Запишем
решение ЛОДУ:



 -
кратный действительный корень



 - кратный
действительный корень



Эти
корни кратные (совпадающие), кратность (число совпадений) .



Получим: 



Овальная выноска: Для корней  и   











Ответ: 







Пример 4.3.



Дано:




Решение:



 



1.
 Составим характеристическое уравнение:  



2. Решим
характеристическое уравнение:






           



3. Запишем
решение ЛОДУ:



 -
комплексно-сопряженный простой корень, действительная часть, мнимая 



 -
комплексно-сопряженный простой корень, действительная часть, мнимая 








Получим: 



 



Овальная выноска: Для корней 
  и  
 



 



 



 






Ответ: 



 



Пример 4.4.



Дано:




Решение:



 



1.
 Составим характеристическое уравнение:  



2. Решим
характеристическое уравнение:






 и 



Решаем                  



Решаем  -
биквадратное уравнение



Замена: ,
получим  -
квадратное уравнение






Получили:                



 



        



3. Запишем
решение ЛОДУ:



 -
действительный корень



 -
действительный корень



Эти корни
кратные (совпадающие), кратность (число совпадений) .



 -
комплексно-сопряженный корень, действительная часть, мнимая 



 -
комплексно-сопряженный корень, действительная часть, мнимая 



Эти корни
кратные (совпадающие), кратность (число совпадений) .



 - комплексно-сопряженный
корень, действительная часть, мнимая 



 -
комплексно-сопряженный корень, действительная часть, мнимая 



Эти корни
кратные (совпадающие), кратность (число совпадений) .





Получим:
Овальная выноска: Для корней 
 и  
Овальная выноска: Для корней 
 и  
Овальная выноска: Для корней 
  и  
            

















Ответ: