4










4.3.2. Метод подбора частного
решения для ЛНДУ со специальной правой частью



 



В случаях, когда
правая часть ЛНДУ имеет специальный вид:



 может быть применен
метод подбора частного решения. 



Рассмотрим
подробнее структуру слагаемых правой части ДУ: , здесь 



    
 
  •  - многочлен по
     целым, неотрицательным степеням степени .
    • 
 
  •  - необязательный
     множитель
    • 




 



Примеры функций  специального вида:



,  выделим
необходимые сомножители: 



, выделим
необходимые сомножители: 



, выделим
необходимые сомножители: 



, выделим
необходимые сомножители: 



 







Алгоритм решение ЛНДУ со
специальной правой частью методом подбора частного решения






 



1. Решить ЛОДУ с той же левой частью, записать его общее
решение.






 



2. Для
каждого слагаемого в правой части уравнения выписать параметры:



* - максимальная степень  в многочлене , если слагаемое не
содержит , то




 - коэффициент при  в аргументе  или , если слагаемое не содержит ни , ни , то 



 - коэффициент при  в аргументе экспоненты, если
слагаемое не содержит экспоненты, то .



 



3. Сгруппировать слагаемые с одинаковыми  и , для сформированной группы выписать
параметры: максимальное из * и общие  и . Каждое из несгруппированных слагаемых
представляет собой отдельную группу со своими параметрами.



 



4. Для каждой выделенной группы записать структуру частного
решения по следующему правилу:



а) если ,
то, где



 -многочлен
по целым, неотрицательным степеням степени  в общем виде (начиная с константы и
заканчивая ),
здесь 



 -
параметр группы



*-
коэффициент при  в
аргументе экспоненты является параметром группы



* - определяется
следующим образом: если величина , составленная из параметров группы,
совпадает с корнями  характеристического
уравнения из п.1 , то равняется числу совпадений, если же
величина среди
корней  характеристического
уравнения не встречается, то .



 



б) если ,
то , где



 



 -
многочлены по целым, неотрицательным степеням  степени  в общем виде с разными  коэффициентами,
здесь 



 -
параметр группы.



*-
коэффициент при  в
аргументе экспоненты является параметром группы



 -
коэффициент при  в
аргументе  и является параметром
группы



* -
определяется, как и в случае а)



 



5. Определить значения неизвестных коэффициентов  методом неопределенных
коэффициентов:



5.1. Подставить вместо  каждое отдельно найденное
частное решение в ДУ, левая часть которого совпадает с исходным, а правая
содержит только те слагаемые, для которых записано это частное решение.



5.2. Привести подобные слагаемые в левой и
правой частях полученного уравнения.



5.3. Приравнять коэффициенты при одинаковых
функциях  в
левой и правой частях полученного уравнения. Получится система алгебраических
уравнений.



5.4. Решить систему, найти коэффициенты .



5.5. Полностью записать  частное решение.



 



6. Записать решение ЛНДУ: 






 



Замечание. Если
задание сформулировано следующим образом «Определить структуру общего решения
ЛНДУ методом подбора частного решения», то выполняются пункты 1-4 и 6
алгоритма, при этом в решении остаются неопределенными коэффициенты . Если задание
сформулировано как «Решить  ЛНДУ методом подбора частного решения», то
выполняются все пункты алгоритма.



 







Пример 4.7.



Дано: 



Решение:



1. Решаем соответствующее ЛОДУ с
той же левой частью:


















2. Исследуем структуру правой части
ЛНДУ:




 

  
  
1
  слагаемое:

  		
  
  

  		
  
  

  		
 

 

  
  
2
  слагаемое:

  		
  
  

  		
  
  

  		
 





3. Так как  и   у слагаемых разные, то
группировки нет, каждое слагаемое – отдельная группа.




 

  
  
1
  слагаемое:

  		
  
  

  		
  
  

  		
  
  
1 группа

  		
 

 

  
  
2
  слагаемое:

  		
  
  

  		
  
  

  		
  
  
2 группа

  		
 





4. Для каждой группы слагаемых
записываем частное решение:



Первое частное решение: 









Окончательно:     



 



Второе частное решение: 









Окончательно:     



6. Записываем структуру общего
решения ЛНДУ: 



 



Ответ:








Пример 4.8.



Дано: 



Решение:



1. Решаем соответствующее ЛОДУ с
той же левой частью:















 



2. Исследуем структуру правой части
ЛНДУ:




 

  
  
1
  слагаемое:

  		
  
  

  		
  
  

  		
 

 

  
  
2
  слагаемое:

  		
  
  

  		
  
  

  		
 

 

  
  
3
  слагаемое:

  		
  
  

  		
  
  

  		
 





3. Группируем слагаемые с
одинаковыми параметрами  и  :




 

  
  
1  и
  3 слагаемое:

  		
  
  

  

  		
  
  

  		
  
  
1 группа

  		
 

 

  
  
2
  слагаемое:

  		
  
  

  		
  
  

  		
  
  
2 группа

  		
 





4. Для каждой группы слагаемых
записываем частное решение:



Первое частное решение: 









Окончательно:     



 



Второе частное решение: 









Окончательно:     



6. Записываем структуру общего
решения ЛНДУ: 



 



Ответ:








Пример 4.9.



Дано:




Решение:



1. Решаем соответствующее ЛОДУ с
той же левой частью:















 



2. Исследуем структуру правой части
ЛНДУ:




 

  
  
1
  слагаемое:

  		
  
  

  		
  
  

  		
 

 

  
  
2
  слагаемое:

  		
  
  

  		
  
  

  		
 





 



3. Группируем слагаемые с
одинаковыми параметрами  и  :




 

  
  
1  и
  2 слагаемое:

  		
  
  
*

  

  		
  
  

  		
  
  
1 группа

  		
 





 



4. Для полученной группы слагаемых
записываем частное решение:



Частное решение: 









Окончательно:     



 



5. Находим неизвестные коэффициенты
частного решения методом неопределенных коэффициентов:


















Приравниваем коэффициенты при
одинаковых степенях  в
левой и правой частях уравнения:




 

  
  

  		
  
  

  		
 

 

  
  

  		
  
  

  		
 

 

  
  

  		
  
  

  		
 





 



Из полученной системы находим:












 



Окончательно: 



 



Проверка:





















 






 



6. Записываем решение ЛНДУ:






 



Ответ: