6. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ  СИСТЕМ  ДУ

Если некоторое явление описывается системой ДУ с начальными условиями , которые обычно являются результатами измерений и, следовательно, неизбежно получены с некоторой погрешностьючальными условиями, которые обычно являются результатами измерений и, следовательн, то естественно возникает вопрос о влиянии малого изменения начальных значений на искомое решение.

Если окажется, что сколь угодно малое изменение начальных условий способны сильно изменить решение, то решение, определяемое этими начальными условиями, не имеет никакого прикладного значения и даже приближенно не описывает изучаемое явление.

Возникает важный для приложений вопрос о нахождении условий, при которых достаточно малое изменение начальных значений вызывает сколь угодно малое изменение решения.

Определение 7.1.  Решение  системы ДУ называется устойчивым по Ляпунову, если для можно подобрать такое , что для всякого решения той же системы, начальные значения  которого удовлетворяют неравенствам , для всех будет справедливо .

Если же для некоторого  такого  не существует, то решение  называют неустойчивым.

Определение 7.2.  Если решение   не только устойчиво, но, кроме того, удовлетворяет условию: , если , то решение  называется асимптотически устойчивым.

Замечание 1. Из одного условия асимптотической устойчивости не следует устойчивость решения.

Замечание 2. Наличие или отсутствие устойчивости не зависит от выбора .

Исследование на устойчивость некоторого решения системы ДУ может быть сведено к исследованию на устойчивость тривиального решения – точки покоя, расположенной в начале координат.

В применении к точке покоя условия устойчивости можно сформулировать так: точка устойчива в смысле Ляпунова, если для каждого  можно подобрать  такое, что траектория, начальная точка которой находится в -окрестности начала координат,  при росте  не выйдет за пределы –окрестности начала координат.