6.1. Простейшие типы точек покоя

Исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя ,  системы 2-х ЛОДУ  с постоянными коэффициентами: ,        

Для отыскания решения системы составляем характеристическое уравнение:

  или  

Корни характеристического уравнения позволяют исследовать точку покоя на устойчивость.

6.1.1. Правило определения устойчивости СЛОДУ

Если действительные части всех корней характеристического уравнения системы отрицательны, то тривиальное решение (точка покоя) асимптотически устойчиво.

Если же действительная часть хотя бы одного корня положительна, то соответствующее этому корню решение при сколь угодно малых по модулю значениях  (произвольной постоянной) неограниченно возрастает по модулю при возрастании , и, следовательно, точки расположенные в начальный момент  на этих траекториях в сколь угодно малой -окрестности начала координат, покидают при возрастании  любую заданную –окрестность начала координат. Следовательно, если действительная часть хотя бы одного корня положительна, то точка покоя неустойчива.

Эти утверждения справедливы и для системы ЛОДУ с постоянными коэффициентами  -порядка.