6.1.3. Способы построения траектории системы

1. Чтобы начертить траектории системы на плоскости  в случае узла, седла и вырожденного узла, нужно найти те решения, которые изображаются прямыми, проходящими через точку покоя. Эти прямые всегда направлены вдоль собственных векторов матрицы системы.

В случае узла кривые касаются той прямой, которая направлена вдоль собственного вектора, соответствующего меньшему по модулю собственному значению.

2. В случае точки покоя типа фокус нужно определить направление закручивания траекторий. Для этого нужно:

·        исследовать устойчивость этой точки по знаку действительной части корней;

·        определить в каком направлении вокруг точки покоя происходит движение по траекториям, для этого достаточно построить в какой-либо точке  вектор скорости .

3. Для построения траекторий нужно разделить одно уравнение системы на другое и получить уравнение 1-го порядка вида: . Затем построить интегральные кривые для этого уравнения методом изоклин.

Замечание. Если определитель системы, а, следовательно, либо один, либо оба корня характеристического уравнения равны нулю, то систему можно свести к эквивалентному уравнению, решения которого на плоскости изображаются параллельными прямыми.

Пример 6.1.

Дано:

Исследовать на устойчивость систему. Построить траектории движения  вблизи точки покоя.

Решение:

1. Найдем сначала решение системы.

Составим матрицу коэффициентов системы:  

Составим матрицу :

Составим характеристическое уравнение  и найдем собственные значения матрицы:            ,  .

Собственные значения матрицы – корни характеристического уравнения – простые, действительные.

Найдем собственный вектор из уравнения:

Т.к. уравнения в системе линейно-зависимы, найдем ее любое ненулевое решение: пусть , а из системы .

Окончательно:

Найдем собственный вектор из уравнения:

Т.к. уравнения в системе линейно-зависимы, найдем ее любое ненулевое решение: пусть , тогда из второго уравнения системы .

Окончательно:

Запишем решение системы в векторной форме:

Запишем решение системы в скалярной форме:

2. Исследуем на устойчивость тривиальное решение системы (точку покоя).

Корни характеристического уравнения действительные, различные, одного знака (положительные), следовательно, точка покоя – неустойчивый узел.

Для построения траекторий движения построим на плоскости  собственные вектора системы:  и . Траектории движения будут касаться прямой, проходящей вдоль вектора , т.к. этот вектор соответствует меньшему по модулю корню .

3. Остальные траектории строим методом изоклин.

Разделим второе уравнение системы на первое и получим уравнение 1-го порядка:

Найдем уравнение изоклин:  - уравнение изоклин.

Зададим несколько значений k (не меньше 7), запишем соответствующие им уравнения изоклин и построим их на координатной плоскости:

Построим поле направлений, для этого для каждого значения k  найдём угол наклона касательных к интегральным кривым и нанесём под этим углом касательные на соответствующие изоклины:

Построим интегральные кривые.