7










7.1. Приближенно-аналитические методы решения задачи
Коши



 



7.1.1. Методы степенных рядов



Теорема. 



Дано:







Если правая
часть ДУ, т.е. функция , является аналитической функцией своих
аргументов в некоторой окрестности точки , то при значениях , достаточно близких к , существует
единственное решение задачи Коши, которое может быть представлено  в виде
степенного ряда (ряда Тейлора).



 



7.1.1.1. Метод последовательного дифференцирования



 



Рассмотрим
приведенную выше задачу Коши. Будем искать решение задачи Коши для ДУ n-го
порядка в виде ряда Тейлора по степеням  в окрестности точки .






Коэффициенты
ряда представляют собой производные функции , вычисленные в точке .



Найдем их:



1) Из начальных
условий определим первые n коэффициентов разложения:



;



2) Значение
(n+1)-го коэффициента определим, подставив в ДУ значения :



;






3) Для
нахождения всех последующих коэффициентов будем последовательно дифференцировать
левую и правую часть исходного ДУ и вычислять значения коэффициентов, используя
начальные условия и все уже полученные коэффициенты.



 



Замечание.
Если выполняются условия теоремы существования и единственности решения, то
частичная сумма полученного ряда Тейлора будет приближенным решением
поставленной задачи Коши.



 



Алгоритм метода последовательного дифференцирования 






1. Записать решение y(x) в виде бесконечного степенного ряда
по степеням :




                                 
,   где    



2. Определить значения первых n коэффициентов  (здесь n - порядок
исходного уравнения), воспользовавшись начальными условиями.



 



3. Выразить из ДУ старшую производную. Вычислить ее значение
в начальной точке, используя начальные условия. Вычислить коэффициент .



 



4. Продифференцировав по х выражение для старшей производной
из п. 3 найти n+1 производную функции . Вычислить ее значение в начальной точке,
используя начальные условия и значение старшей производной, вычисленное в п. 3.
Вычислить коэффициент .



 



5. Остальные коэффициенты    вычисляются аналогично процедуре,
описанной в п. 4.



 



6. Записать окончательное решение задачи в виде бесконечного
ряда по степеням  с
подставленными значениями коэффициентов.






 







Пример 7.1.



Дано: 






Найти
приближенно-аналитическое решение задачи Коши методом последовательного
дифференцирования (найти 4 члена  ряда).



 



Решение:



 



1. Т.к. будем искать решение задачи Коши
в виде: 



,   где   .



 



2. Из начальных
условий: