7.1.2. Метод последовательных приближений

7.1.2.1. Случай ДУ 1-го порядка

Пусть сначала дана задача Коши для ДУ 1-го порядка:

Предположим, что в некоторой окрестности точки  ДУ удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.

Будем строить решение, интегрируя левую и правую части ДУ от   до :

или с учетом

Это решение удовлетворяет ДУ и начальному условию.

Заменяя в правой части неизвестную функцию  имеющимся значением  получим первое приближение:

,

затем:

.

Все имеющиеся приближения строятся по формуле:

Геометрически последовательные приближения представляют собой кривые , проходящие через общую точку .

Доказано, что при выполнении условия Липшица, последовательные приближения на некотором достаточно малом отрезке  имеют смысл и равномерно сходятся, причем предельная функция  удовлетворяет ДУ и начальному условию.

Пример 7.4.

Дано:

Найти приближенно-аналитическое решение задачи Коши методом последовательных приближений (сделать 4 приближения).

Решение:

В рассматриваемом примере .

0-е приближение

1-е приближение

2-е приближение

3-е приближение

4-е приближение

Можно показать, что .

Предел этой суммы , т.к. , а .

Можно найти аналитическое решение этой задачи, например методом вариации произвольной постоянной:

 - это линейное ДУ 1-го порядка

 - соответствующее однородное линейное ДУ

 - решение соответствующего однородного линейного ДУ

 - общее решение ДУ

 - решение задачи Коши.

Т.о. решение, полученное методом последовательных приближений, совпало с аналитическим.