7.2. Численные методы решения задачи Коши

Численные методы позволяют найти только частное решение ДУ (СДУ) в виде сеточной функции. Несмотря на этот недостаток, эти методы применимы к очень широкому классу уравнений, поэтому при современном уровне развития вычислительной техники численные методы стали одним из основных методов решения практических задач, математические модели которых описываются дифференциальными уравнениями.

7.2.1. Численные методы решения задачи Коши для  ДУ 1-го порядка

Дано:  - ДУ 1-го порядка, разрешенное относительно производной,

             - начальное условие, здесь - начальная точка, - значение функции в начальной точке.

Требуется решить поставленную задачу Коши – найти интегральную кривую , проходящую через начальную точку .

Методы численного решения задачи Коши связаны с разложением искомого решения ДУ в ряд Тейлора в окрестности точки , при этом решение задачи ищется на интервале , левый конец которого  задан, а правый конец  может быть либо задан, либо определен в процессе расчетов некоторым условием.

Искомое приближенное решение ищется в отдельных точках интервала, называемых узлами сетки, в виде последовательности значений , приближенно равных значениям  , определяемым точным решением .

Расстояние между соседними узлами называется шагом интегрирования : . Шаг может быть задан заранее или может меняться в ходе вычислений. Чаще всего

Рассмотрим разложение решения в ряд Тейлора:

Стоящие в правой части производные искомой функции можно найти, дифференцируя исходное уравнение:

Однако, даже при сравнительно простой правой части выражения для производных могут оказаться громоздкими, поэтому для численного решения ограничиваются только несколькими членами ряда.