7.2.1.1. Явный метод Эйлера

Ограничимся только двумя первыми членами ряда Тейлора: .

Тогда получим формулы для вычисления решения:

Очевидно, что для отыскания решения в этом случае достаточно знать только начальные условия и .

Геометрическая интерпретация метода

Согласно вычислительной схеме метода Эйлера, искомое решение (интегральная кривая) , проходящая через начальную точку , приближенно заменяется ломанной , звенья которой в каждой вершине имеют направление, совпадающее с направлением интегральной кривой.

Здесь синим цветом выделен график численного решения (ломаная Эйлера)

Пример неудачного задания шага для решения задачи методом Эйлера

Метод Эйлера является простейшим численным методом интегрирования дифференциального уравнения. Его недостатками являются:

1) малая точность;

2) «запаздывание»;

3) систематическое накопление ошибок.

Метод Эйлера дает сравнительно удовлетворительные результаты (в смысле погрешности) лишь при малых значениях , это можно объяснить тем, что интеграл дифференциального уравнения на каждом частичном отрезке  представим только двумя членами ряда, т.о. для каждого отрезка имеется погрешность порядка .

Пример 7.6.

Дано:

Найти решение задачи Коши явным  методом Эйлера на отрезке . Число разбиений отрезка выбрать .

Решение

Перепишем задачу:   ,             .

Итерация 0 (начальная точка)

,

,

.

Итерация 1 ()

,

,

.

Итерация 2 ()

,

.

Результаты вычислений представим в виде таблицы.