Дифференциальные уравнения

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- Вопросы самоконтроля усвоения теории
  (незачтено)
ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА
- 2.1. Условия существование и единственность решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Задача Коши
  - Вопросы самоконтроля усвоения теории
    (незачтено)
- 2.2. Метод изоклин
- 2.3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, разрешенные относительно производной
- 2.4. Дифференциальные уравнения 1-го порядка, неразрешенные относительно производной
  - 2.4.1. Метод введения параметра
  - 2.4.2. Особые решения дифференциального уравнения
- 2.5. Порядок определения типа ДУ 1-го порядка
- КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
  (незачтено)
ГЛАВА 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
- 3.1. Условия существования и единственности решения дифференциальных уравнений высших порядков
  - Вопросы самоконтроля усвоения теории
    (незачтено)
- 3.2. Случаи интегрирования ДУ высших порядков
  - Случай 1
  - Случай 2
  - Случай 3
  - Случай 4
  - Случай 5
  - Вопросы самоконтроля усвоения теории
    (незачтено)
- 3.3. Решение задачи Коши для ДУ высших порядков
  - Вопросы самоконтроля усвоения теории
    (незачтено)
ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
- 4.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ)
  - Вопросы самоконтроля усвоения теории
    (незачтено)
- 4.2. Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами
  - Вопросы самоконтроля усвоения теории
    (незачтено)
  - Решение упражнений в пошаговом режиме
    (незачтено)
  - РУБЕЖНЫЙ КОНТРОЛЬ №3
    (незачтено)
- 4.3. Линейные неоднородные ДУ с постоянными коэффициентами (ЛНДУ)
- КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2
  (незачтено)
ГЛАВА 5. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ (СДУ)
- Вопросы самоконтроля усвоения теории
  (незачтено)
- 5.1. Системы линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами
  - 5.1.1. Метод исключения
  - 5.1.2. Метод Эйлера решения СЛОДУ
  - Вопросы самоконтроля усвоения теории
    (незачтено)
  - Решение упражнений в пошаговом режиме
    (незачтено)
  - РУБЕЖНЫЙ КОНТРОЛЬ №5
    (незачтено)
- 5.2. Системы линейных неоднородных ДУ с постоянными коэффициентами (СЛНДУ)
ГЛАВА 6. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДУ
- 6.1. Простейшие типы точек покоя
- 6.2. Признаки отрицательности действительных частей всех корней характеристического уравнения.
- КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3
  (незачтено)
ГЛАВА 7. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДУ
- 7.1. Приближенно-аналитические методы решения задачи Коши
  - 7.1.1. Методы степенных рядов
    - 7.1.1.1. Метод последовательного дифференцирования
    - 7.1.1.2. Метод неопределенных коэффициентов
  - 7.1.2. Метод последовательных приближений
  - 7.2. Численные методы решения задачи Коши
  - 7.3. Приближенно-аналитические методы решения краевых задач
    - 7.3.1. Метод коллокаций
  - 7.4. Численные методы решения краевых задач
    - 7.4.1. Метод конечных разностей
    - Вопросы самоконтроля усвоения теории
      (незачтено)
ЭКЗАМЕН
(не сдан)

5.1.2. Метод Эйлера решения СЛОДУ

1. Составить матрицу системы:

2. Составить характеристическое (ХУ) уравнение: и найти все его корней: . Корни характеристического уравнения – это собственные значения матрицы .

3. Проанализировать корни :

Для каждого простого действительного корня :

3.1. Составить матрицу

3.2. Найти собственный вектор матрицы , соответствующий корню , решив матричное уравнение:

Замечание. - любой ненулевой вектор, удовлетворяющий матричному уравнению

3.3. Записать частное решение системы в векторной форме:

Для каждого пары простых комплексно-сопряженных корней :

3.1. Выбрать любой из двух корней, либо , либо

3.2. Составить матрицу

3.3. Найти собственный вектор матрицы , соответствующий корню , решив матричное уравнение:

3.4. Если был выбран корень , рассмотреть произведение:

Если был выбран корень , рассмотреть произведение:

Выделить в полученном произведении действительную и мнимую части.

3.5. Записать частное решение системы в векторной форме:

Для каждого кратного действительного корня кратности :

3.1. Составить матрицу

3.2. Найти все линейно-независимые собственные векторы, соответствующие корню , решив матричное уравнение:.

Если их количество равно кратности корня , то записать частное решение системы:

Если количество линейно-независимых собственных векторов перейти к п. 3.3-3.6.

3.3. Записать частные решения системы в виде:

3.4. Найти соотношения для коэффициентов методом неопределенных коэффициентов.

3.5. Положить любые коэффициентов равными произвольным постоянным , выразить оставшиеся из соотношений 3.4.

3.6. Окончательно записать частное решение системы.

4. Записать общее решение СЛОДУ в виде суммы всех частных.

Пример 5.2.

Дано:

Решение:

1. Составим матрицу коэффициентов системы:

2. Составим матрицу :

Составим характеристическое уравнение и найдем собственные значения матрицы.

Найдем определитель:

Приравняем полученный определитель к нулю: - характеристическое уравнение.

Найдем собственные значения матрицы, решив уравнение:

Собственные значения матрицы – корни характеристического уравнения – простые, действительные.

Запишем матрицу , где , и найдем собственный вектор матрицы:

Найдем собственный вектор из уравнения:

Т.к. уравнения в системе линейно-зависимы, найдем ее любое ненулевое решение:

Пусть , тогда из первого уравнения системы .

Окончательно:

Запишем матрицу , где , и найдем собственный вектор матрицы:

Найдем собственный вектор из уравнения:

Т.к. уравнения в системе линейно-зависимы, найдем ее любое ненулевое решение:

Пусть , тогда из второго уравнения системы .

Окончательно:

4. Запишем решение системы в векторной форме:

Запишем решение системы в скалярной форме:

Ответ:

Пример 5.3.

Дано:

Решение:

1. Составим матрицу коэффициентов системы:

2. Составим матрицу :

Составим характеристическое уравнение и найдем собственные значения матрицы.

Найдем определитель:

Приравняем полученный определитель к нулю: - характеристическое уравнение.

Найдем собственные значения матрицы, решив уравнение:

Собственные значения матрицы – корни характеристического уравнения – простые, комплексно-сопряженные.

Т.к. корни характеристического уравнения и простые, комплексно-сопряженные, выберем любой из них, например

Запишем матрицу , где , и найдем собственный вектор матрицы:

Найдем собственный вектор из уравнения:

Т.к. уравнения в системе линейно-зависимы, найдем ее любое ненулевое решение:

Пусть , тогда из второго уравнения системы .

Окончательно:

Рассмотрим произведение:

Окончательно:

4. Запишем решение системы в векторной форме в виде линейной комбинации действительной и мнимой частей полученного произведения:

Запишем решение системы в скалярной форме:

Ответ:

Пример 5.4.

Дано:

Решение:

1. Составим матрицу коэффициентов системы:

2. Составим матрицу :

Составим характеристическое уравнение и найдем собственные значения матрицы.

Найдем определитель:

Приравняем полученный определитель к нулю: - характеристическое уравнение.

Найдем собственные значения матрицы, решив уравнение:

Собственные значения матрицы – корни характеристического уравнения – кратные, действительные.

Запишем матрицу , где :

Для данной матрицы найдется только один линейно-независимый собственный вектор, поэтому будем искать решение СЛОДУ в виде:

Тогда:

Подставим полученные выражения в первое уравнение системы:

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения:

Приравняем коэффициенты при одинаковых функциях переменной в левой и правой частях уравнения:

Подставим полученные выражения во второе уравнение системы:

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения:

Приравняем коэффициенты при одинаковых функциях переменной в левой и правой частях уравнения:

Объединим соотношения для отыскания коэффициентов:

Очевидно, что в данной системе совпадают уравнения 2-е и 4-е, а также 1-е и 3-е при условии, что .

Для нахождения решения введем произвольные постоянные: и .

Тогда: (из первого уравнения)

(из второго уравнения)

4. Окончательно:

Ответ: